FFT idea for Displacement Measurement

Displacement Measurement任务核心：利用加速度计、陀螺仪（加速度和陀螺仪数据）来计算位移。

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原始思路：核心：计算倾角θ。假设：底部固定，只发生上部的形变。

计算倾角使用：加速度和陀螺仪来计算，二者的计算结果结合，通过参数α来调节。

在获取加速度数据前，先通过低通滤波器滤除震动噪声；获取角加速度前，先通过高通滤波器滤除漂移。

一时域信号x(t)，设其样本长度为T。则其傅里叶变换为$X(f)=\int_{0}^{T}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$。

信号x(t)被采集（即采样）后，变为离散形式$x(nt_s)$，$t_s$为采样周期。设在T时间内采样了N个数据，就有：

其对应的傅里叶反变换为：

傅里叶变换后得到的X(k)是一个长度为N的离散复数序列。其第k个数据为：

$$X(k)=X(k/T)=a_k+jb_k$$

其代表了x(t)中频率为k/T的简谐运动分量，该分量用$x_k$表示。应有：

$$x_k=A_k\cos{(2\pi kt/T + \phi_k)}$$

其中$A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}$为其幅值，$\phi_k=arctan(b_k/a_k)$为其相角。

运动台产生的应为一系列简谐运动的叠加，假设通过建筑物系统后仍为一系列简谐运动的叠加（看成时不变系统，如果有这个性质最好了，滤波就很方便，需要一些结构方面知识来确认），那么可以方便的滤除非明显频点的幅值，来降低噪声。若没有此性质，目前初步计划是使用一个低通滤波来滤除噪声（同原始论文）。

假设我们收到了加速度信号a(n)，对其使用傅里叶变换，得到：

$$A(k)=\sum_{n=0}^{N-1}a(n)e^{-j(\frac{2\pi}{N})nk}=u_k+jv_k$$

设真实的位移（Displacement）序列为d(n)，傅里叶变换后为D(k)。D(k)自然也能也成简谐运动的形式。根据加速度和位移是积分的关系。

若加速度为$a = Acos(\omega t+\phi)$，则位移$x=\int\int adt=\frac{A}{\omega^2}cos(\omega t+\phi-\pi)$。

直接可得

$$d_{1k}=\frac{A_k}{\omega_k^2}cos(\phi_k-\pi)$$

$$d_{2k}=\frac{A_k}{\omega_k^2}sin(\phi_k-\pi)$$

其中$A_k=\sqrt{u_k^2+v_k^2}$，$\phi_k=arctan(v_k/u_k)$，$w_k=2\pi k/T$。

而$D(k)=d_{1k}+jd_{2k}$。这样我们就得到了D(k)，再将D(k)做傅里叶反变换即可得到d(n)。即一段时间内的位移情况。

TODO：