Nullspace for robotics

首先机器人的零空间与线性代数的中的零空间（nullspace）还是有所不同的，线性代数的nullspace指的是: $Ax=0$中$x$的所有解构成了A矩阵的nullspace，有时也称为“核”。

机器人的零空间则一般指的是：雅克比矩阵（Jacobian）的零空间。

机器人在完成任务的时候，会将任务最终分解成位姿伺服问题或者力/力矩伺服问题。而零空间内的机器人关节运动将不会影响主任务的完成。直观来讲就是：当末端保持不动，而其他关节可转动时，这些所有能转动的位形即构成零空间。

首先给出几点基本的认识：

a) 机器人零空间内的运动只会改变整个机器人身体的姿态不会改变；

b) 机器人的零空间是相对主任务定的，也就是说主任务变了，零空间也会随之改变；

c) 冗余自由度越多，零空间可以调整的余地越大，否则零空间的优化效果较弱；对于冗余机器人，由于机器人自由度大于空间自由度，因此在任何时候都能出现；

d) 对于非冗余的情况，当机器人自由度大于要控制的空间自由度时，也会出现/存在零空间（如只控制末端位置而不管姿态的情况下）

也就是零空间为：$J(q)\dot{q}=0$中所有$\dot q$的集合

零空间的特性：

只要机械臂的关节速度$\dot q$在其雅克比矩阵的零空间中，那么end-effector的速度总是零（保持静止）。

$$\dot x = J \dot q$$

$$\dot q = J^+\dot x+(I-J^+J)\dot\theta$$ （上式解更广义表达形式）

其中$J^+$为$J$的伪逆，$\dot\theta$为任意关节角速度向量，$$(I-J^+J)$$为零空间投影矩阵。

那么对于一个有冗余自由度的机器人，假设你除了要控制end effector运动到某一位置，还要保证过程中它的手肘不碰到障碍物，那你总是可以在nullspace中找到一组解满足你的要求：在不改变end effector轨迹的同时避开障碍物。

进一步来了解一下$(I-J^+J)$这个矩阵，一般来讲在有冗余自由度的机器人中$(I-J^+J)$并不为0。$(I-J^+J)$相当于一个“过滤器”，把与控制$\dot x$无关的机器人自由度过滤掉。